U1= 3 = 3+ (0) 4 U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + (1) 4 U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + (2) 4 Un = 3 + (n-1) 4 Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + (n - 1)4 diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan MatematikaSekolah Menengah Atas terjawab • terverifikasi oleh ahli tiga bilangan membentuk deret geometri, jika hasil kalinya 216 dan jumlah nya 26 maka rasio deret tersebut adalah Iklan Jawaban terverifikasi ahli Elliemargartt a + ar + ar^2= 26 a (ar) (ar^2) = 216 ar^3 = 216 ar= 6 a (ar^2) = 216/6= 36 ar = 6 a =6/r a+ar^2= 26-6 = 20 Top1: suatu deret geometri U1=3 dan U5=48. suku ke-7 deret tersebut Pengarang: Peringkat 100 Ringkasan: .Ada yg bisa bantu?? Makasihh . Hitunglah volume gabungan bangun diatas A. 150 m³ B. 155 m² C. 160 m² D. 165 m² 8. Pembahasan Gunakan konsep menentukan suku ke- barisan aritmetika dan menentukan rasio dari deret geometri. Suatu barisan aritmatika terdiri atas tiga suku. Sehingga diperoleh tiga bilangan tersebut yang membentuk barisan aritmetika adalah. Jika suku yang di tengah dikurang 5, maka barisan berubah menjadi barisan geometri, sehingga diperoleh. Tigasuku berurutan dari barisan geometri adalah 4/3 , x , 12. Jika rasio barisan tersebut positif, tentukan x. Jawab : Karena barisan 4/3 , x , 12 merupakan barisan geometri, maka berlaku 4/3 . 12 = x2 ⇔ x2 = 16 ⇔ x = ±4 Agar rasionya positif, haruslah x juga positif. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 4 Jawabanpaling sesuai dengan pertanyaan 8. Tiga bilangan membentuk suatu deret geometri naik. Jika jumlahnya 26 dan hasil kalinya 3 Bilangan k - 2, k - 6, dan 2k + 3, untuk k 0, membentuk tiga suku pertama dari deret geometri. Tentukan ketiga bilangan tersebut. 4. Jika 2k - 5, k - 4, dan 5 1 k - 4 adalah tiga bilangan yang membentuk barisan geometri, tentukan nilai k. 5. Tiga buah bilangan membentuk suatu barisan geometri, dengan rasio lebih besar dari satu. Tigabuah bilangan (2k-1), (k+4), (3k+6) membentuk barisan geometri naik yang ketiga sukunya positif, tentukan rumus suku ke-n ! 18. DERET GEOMETRI PENGERTIAN DERET GEOMETRI DERET GEOMETRI adalah penjumlahan dari masing-masing suku dari suatu barisan geometri Deret Geometri dituliskan : U1 + U2 + U3 + + Un atau a + ar + ar2 + + arn-1 19. Tigabilangan membentuk suatu deret geometri naik. Jika jumlahnya 26 dan hasil kalinya 216, maka rasionya adalah: A. 5 B. 1 C. 4 D. 2 E. 3 10. Diketahui 4 buah bilangan. Tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetik dengan beda 6. Pertanyaan Diketahui tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah dan suku kedua dikurangi diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah , maka hasilnya menjadi kali suku pertama. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut. bsehr. Mentok ngerjain soal? Foto aja pake aplikasi CoLearn. Anti ribet ✅Cobain, yuk!BimbelTanyaLatihan Kurikulum MerdekaNgajar di CoLearnPaket BelajarBimbelTanyaLatihan Kurikulum MerdekaNgajar di CoLearnPaket Kelas 11 SMABarisanDeret GeometriTiga buah bilangan membentuk suatu deret geometri naik. Jumlah ketiga bilangan itu 26. Hasil kalinya 216. Tentukan rasio deret geometri tersebut. Deret GeometriBarisanALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0226Diketahui deret geometri dengan suku keempat 24 dan rasio...0226Jumlah 10 suku pertama deret geometri 2-2akar2+4-4akar...0325Diketahui jumlah n suku pertama pada sebuah deret geometr...0128Suku pertama suatu deret geometri=128 dan rasio=1/2. Juml...Sukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang barisan dan deret geometri. Soal-soal ini dikumpulkan dari berbagai sumber termasuk soal UN maupun SBMPTN. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut Download PDF, 189 KB. Barisan dan Deret Geometri Suku ke-$n$ suatu barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah $$\boxed{\text{U}_n = ar^{n-1}}$$Jumlah $n$ suku pertama deret geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ adalah $$\boxed{\text{S}_n = \dfrac{ar^n-1}{r-1}}$$ Baca Juga Soal dan Pembahasan- Barisan dan Deret Aritmetika Baca Juga Soal dan Pembahasan- Soal Cerita Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Today Quote Bad people may come to you. They want to see everything wrong with you because there are nothing right in them. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Di antara rumus barisan berikut ini, yang merupakan barisan geometri adalah $\cdots \cdot$ A. $\text{U}_n = 4^n-5$ B. $\text{U}_n = 2^n \cdot n^{-2}$ C. $\text{U}_n = 2n^3-1$ D. $\text{U}_n = n^3 \cdot 2^{-n}$ E. $\text{U}_n = 2^{n+1} \cdot 3^{-n}$ Pembahasan Barisan geometri memiliki rumus umum $\text{U}_n = ar^{n-1}$. Perhatikan bahwa rumus barisan geometri hanya terdiri dari $1$ suku tidak ada penjumlahan dan pengurangan. Opsi A $\text{U}_n = 4^n-5$ Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku ada pengurangan sehingga jelas bukan barisan geometri. Opsi B $\text{U}_n = 2^n \cdot n^{-2}$ Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis. Opsi C $\text{U}_n = 2n^3-1$ Rumus barisan tersebut memiliki $2$ suku ada pengurangan sehingga jelas bukan barisan geometri. Opsi D $\text{U}_n = n^3 \cdot 2^{-n}$ Rumus barisan tersebut bukan termasuk barisan geometri karena variabel $n$ muncul dengan posisi yang berbeda, yaitu sebagai pangkat dan basis. Opsi E $\text{U}_n = 2^{n+1} \cdot 3^{-n}$ Perhatikan bahwa rumus barisan di atas dapat ditulis menjadi $\text{U}_n = 2^{n} \cdot 2^1 \cdot \dfrac{1}{3^n} = 2\left\dfrac23\right^n.$ Bentuk rumus terakhir menunjukkan bahwa ini adalah barisan geometri dengan suku pertama $a = 2$ dan rasio $r = \dfrac23$. Jawaban E [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah $24$ dan suku ke-$3$ adalah $\dfrac{8}{3}$. Suku ke-$5$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{8}{3}$ C. $\dfrac{8}{18}$ E. $\dfrac{8}{36}$ B. $\dfrac{8}{9}$ D. $\dfrac{8}{27}$ Pembahasan Diketahui $a = 24$ dan $\text{U}_3 = \dfrac{8}{3}$. Langkah pertama adalah menentukan rasio barisan geometri ini terlebih dahulu. $\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ \text{U}_3 & = \dfrac{8}{3} = 24r^{3-1} \\ \dfrac{8}{3} & = 24r^2 \\ r^2 & = \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{24} \\ r^2 & = \dfrac{1}{9} \\ r & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}$ Dengan demikian, didapat $\begin{aligned} \text{U}_5 & = ar^4 \\ & = 24\left\dfrac{1}{3}\right^4 \\ & = 24 \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{8}{27}. \end{aligned}$ Jadi, suku ke-$6$ barisan geometri itu adalah $\boxed{\dfrac{8}{27}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Suku pertama dari barisan geometri adalah $\dfrac{5}{2}$ dan suku ke-$4$ adalah $20$. Besar suku ke-$6$ dari barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $80$ C. $25$ E. $-80$ B. $50$ D. $-25$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = \dfrac{5}{2} \\ \text{U}_4 & = 20 \end{aligned}$ Langkah pertama adalah mencari rasio barisan geometri ini. Perhatikan bahwa $\begin{aligned} \text{U}_4 & = 20 \\ ar^3 & = 20 \\ \dfrac{5}{2}r^3 & = 20 \\ r^3 & = 20 \times \dfrac{2}{5} \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2. \end{aligned}$ Selanjutnya, carilah suku ke-$6$. $\text{U}_6 = ar^5 = \dfrac{5}{2} \times 2^5 = 80$ Jadi, suku ke-$6$ barisan tersebut adalah $\boxed{80}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui barisan geometri dengan suku ke-$5 = 162$ dan suku ke-$2 =-6$. Rasio barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $-3$ C. $-\dfrac{1}{3}$ E. $3$ B. $-2$ D. $\dfrac{1}{2}$ Pembahasan Diketahui $\text{U}_5 = 162$ dan $\text{U}_2 =-6$. Dengan melakukan perbandingan antarsuku, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_5}{\text{U}_2} & = \dfrac{162}{-6} \\ \dfrac{\cancel{a}r^4}{\cancel{a}r} & =-27 \\ r^3 & =-27 \\ r & =-3. \end{aligned}$ Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah $\boxed{-3}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 5 Suatu barisan geometri dengan suku pertama $16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $31$ C. $32$ E. $64$ B. $31,5$ D. $63$ Pembahasan Diketahui $a = 16$ dan $\text{U}_4 = 2$. Langkah pertama adalah menentukan rasionya terlebih dahulu. $\begin{aligned} \text{U}_4 & = 2 \\ ar^3 & = 2 \\ 16r^3 & = 2 \\ r^3 & = \dfrac{1}{8} \\ r & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$ Dengan menggunakan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan geometri $\boxed{S_n = \dfrac{a1-r^n}{1-r}}$ diperoleh $\begin{aligned} S_6 & = \dfrac{16\left1-\left\dfrac{1}{2}\right^6 \right}{1- \dfrac{1}{2}} \\ & = \dfrac{16\left1-\dfrac{1}{64}\right}{\dfrac{1}{2}} \\ & = 16 \cdot \dfrac{63}{64} \cdot \dfrac{2}{1} \\ & = \dfrac{63}{4} \cdot 2 = 31,5. \end{aligned}$ Jadi, jumlah $6$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $\boxed{31,5}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 6 Jika $2x-5, x-4$, $-3x+10$ merupakan tiga suku pertama barisan geometri, maka nilai $x$ yang bulat adalah $\cdots \cdot$ A. $3$ C. $9$ E. $13$ B. $7$ D. $10$ Pembahasan Dalam barisan geometri, berlaku $\boxed{\text{U}_2^2 = \text{U}_1 \cdot \text{U}_3}$ Dengan demikian, diperoleh $$\begin{aligned} x- 4^2 & = 2x-5-3x+10 \\ x^2-8x+16 & =-6x^2 + 35x-50 \\ 7x^2-43x + 66 & = 0 \\ 7x-22x-3 & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh $x = \dfrac{22}{7}$ atau $x = 3$. Karena nilai $x$ yang dimaksud berupa bilangan bulat, maka nilai $x$ yang diambil adalah $\boxed{3}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Aplikasi Soal Cerita Barisan dan Deret Aritmetika Soal Nomor 7 Jika $\text{U}_1,\text{U}_2, \text{U}_3,\cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $\text{U}_3-\text{U}_6 = x$ dan $\text{U}_2-\text{U}_4 = y$, serta $r$ merupakan rasio barisan geometri tersebut, maka $\dfrac{x} {y} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{r^3-r^2-r} {r-1}$ D. $\dfrac{r^3+r^2-r} {r-1}$ B. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r-1}$ E. $\dfrac{r^3-r^2+r} {r+1}$ C. $\dfrac{r^3+r^2+r} {r+1}$ Pembahasan Dalam barisan geometri, rumus suku ke-$n$ dinyatakan oleh $\text{U}_n = ar^{n-1}$ di mana $a$ sebagai suku pertama. Dengan demikian, $\begin{aligned} \dfrac{x} {y} & = \dfrac{\text{U}_3-\text{U}_6}{\text{U}_2- \text{U}_4} \\ & = \dfrac{ar^2-ar^5}{ar-ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{ar} r- r^4}{\cancel{ar} 1-r^2} \\ & = \dfrac{r-r^4}{1-r^2} \\ & = \dfrac{\cancel{1- r} r+r^2+r^3} {\cancel{1-r}1+r} \\ & = \dfrac{r+r^2+r^3}{1+r}. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{x} {y} = \dfrac{r^3+r^2+r}{r+1}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Suku ke-$n$ deret geometri adalah $\text{U}_n$. Jika $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$ dan $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$, maka nilai $\text{U}_{10} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{27}$ D. $\dfrac{\sqrt{3}} {9}$ B. $\dfrac19$ E. $\dfrac13$ C. $\dfrac{\sqrt{3}} {27}$ Pembahasan Diketahui $\dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} = 3$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_6}{\text{U}_8} & = 3 \\ \dfrac{\cancel{a} r^5}{\cancel{a}r^7} & = 3 \\ r^{-2} & = 3 \\ r^2 & = \dfrac13 \\ r^2^4 & = \left\dfrac13\right^4 \\ r^8 & = \dfrac{1}{81}. \end{aligned}$ Diketahui juga bahwa $\text{U}_2 \cdot \text{U}_8 = \dfrac13$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \text{U}_2 \cdot \text{U}_8 & = \dfrac13 \\ ar ar^7 & = \dfrac13 \\ a^2r^8 & = \dfrac13 \\ \text{Substitusi}~r^8 & = \dfrac{1}{81} \\ a^2\left\dfrac{1}{81}\right & = \dfrac13 \\ a^2 & = \dfrac13 \cdot 81 \\ a^2 & = 27 \\ a & = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}. \end{aligned}$ Karena $r^2 = \dfrac13$, maka $r = \sqrt{\dfrac13} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$. Dengan demikian, $\begin{aligned} U_{10} & = ar^9 = ar^8 \cdot r \\ & = 3\sqrt{3} \left\dfrac{1}{81}\right \left\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right = \dfrac{1}{27}. \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\text{U}_{10} = \dfrac{1}{27}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Pada suatu barisan geometri naik dengan rasio positif, diketahui $\text{U}_6- \text{U}_4 = 4$ dan $\text{U}_4- \text{U}_3 = \dfrac23$. Nilai dari $\text{U}_5 = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{16}{3}$ C. $\dfrac43$ E. $\dfrac13$ B. $\dfrac83$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Diketahui bahwa $\text{U}_6- \text{U}_4 = 4$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \text{U}_6-\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5- ar^3 & = 4 \\ ar^2r^3-r & = 4 \\ ar^2 & = \dfrac{4}{r^3-r}. \end{aligned}$ Diketahui bahwa $\text{U}_4-\text{U}_3 = \dfrac23$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \text{U}_4-\text{U}_3 & = \dfrac23 \\ ar^3-ar^2 & = \dfrac23 \\ ar^2r-1 & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^3-r} \cdot r-1 & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{\cancel{r-1}r^2+r} \cdot \cancel{r-1} & = \dfrac23 \\ \dfrac{4}{r^2+r} & = \dfrac23 \\ r^2 + r & = 4 \cdot \dfrac32 \\ r^2+r & = 6 \\ r^2+r-6 & = 0 \\ r + 3r-2 & = 0. \end{aligned}$ Diperoleh $r =-3$ atau $r = 2$. Karena rasionya bernilai positif, maka diambil $r = 2$. Untuk itu, $\begin{aligned} \text{U}_6-\text{U}_4 & = 4 \\ ar^5-ar^3 & = 4 \\ ar^5-r^3 & = 4 \\ a & = \dfrac{4}{r^5-r^3} \\ \text{Substitusi}~r & = 2 \\ a & = \dfrac{4}{2^5-2^3} = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6}. \end{aligned}$ Dengan demikian, $\boxed{ \text{U}_5 = ar^4 = \dfrac162^4 = \dfrac83}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Deret Geometri Tak Hingga Soal Nomor 10 Suku ke-$n$ suatu barisan geometri dirumuskan oleh $\text{U}_n = 4^n$. Jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{3}4^{n+1}-4$ D. $\dfrac{1}{3}4^{n+1}-n$ B. $\dfrac{1}{3}4^{n}-4$ E. $\dfrac{1}{3}4^{n-1} + 4$ C. $\dfrac{1}{3}4^{n-1}-4$ Pembahasan Rasio barisan geometri tersebut dapat ditentukan dengan membagi suku ke-$n+1$ dengan suku ke-$n$. Sebagai contoh, suku ke-$2$ dibagi suku ke-$1$. $r= \dfrac{\text{U}_{n+1}} {\text{U}_n} = \dfrac{\text{U}_2}{\text{U}_1} = \dfrac{4^2}{4^1} = 4.$ Dari sini, juga didapat $\text{U}_1 = a = 4.$ Dengan menggunakan rumus jumlah suku ke-$n$ barisan geometri, diperoleh $\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{ar^n-1}{r-1} \\ & = \dfrac{44^n-1} {4-1} \\ & = \dfrac{4}{3}4^n-1 \\ & = \dfrac{1}{3}4^{n+1}-4. \end{aligned}$ Jadi, jumlah $n$ suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah $\boxed{\text{S}_n = \dfrac{1}{3}4^{n+1}-4}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Suatu deret geometri mempunyai suku pertama $p^{-2}$ dan suku kedua $p^{2x}$. Jika suku kesepuluh $p^{88}$, maka nilai $x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac14$ C. $1$ E. $4$ B. $\dfrac12$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \text{U}_1 & = a = p^{-2} \\ \text{U}_2 & = p^{2x} \\ \text{U}_{10} & = p^{88} \end{aligned}$ Rasio deret geometri itu adalah $r = \dfrac{p^{2x}}{p^{-2}} = p^{2x+2}.$ Karena suku kesepuluh $p^{88}$, maka dengan menggunakan formula suku ke-$n$ barisan geometri, kita peroleh $\begin{aligned} \text{U}_{10} & = p^{88} \\ ar^9 & = p^{88} \\ p^{-2} \cdot p^{18x+18} & = p^{88} \\ p^{18x+16} & = p^{88} \\ 18x+16 & = 88 \\ 18x & = 72 \\ \therefore x & = 4. \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{x=4}$ Jawaban E [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Pangkat Eksponen Sederhana Soal Nomor 12 Jumlah $10$ suku pertama dari deret geometri $16-8+4-2+\cdots$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{231}{8}$ D. $\dfrac{341}{32}$ B. $\dfrac{341}{8}$ E. $\dfrac{361}{4}$ C. $\dfrac{341}{16}$ Pembahasan Cara Matematis Diketahui deret geometri $16-8+4-2+\cdots$ Suku pertamanya adalah $a = 16$. Rasio barisan geometri yang bersesuaian dengan deret itu adalah $r =-\dfrac12$. Dengan demikian, jumlah $10$ suku pertamanya dinyatakan oleh $\begin{aligned} \text{S}_{n} & = \dfrac{a1-r^n}{1-r} \\ \text{S}_{10} & = \dfrac{16\left1-\left-\dfrac12\right^{10}\right}{1-\left-\dfrac12\right} \\ & = \dfrac{16\left1-\dfrac{1}{1024}\right}{1+\dfrac12} \\ & = \dfrac{\dfrac{1023}{64}}{\dfrac32} \\ & = \dfrac{\cancelto{341}{1023}}{\cancelto{32}{64}} \times \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{3}} = \dfrac{341}{32}. \end{aligned}$ Jadi, jumlah $10$ suku pertama deret geometri tersebut adalah $\boxed{\dfrac{341}{32}}$ Cara Manual Cara manual artinya kita menghitungnya satu per satu seperti yang biasanya dilakukan anak SD. Kelihatannya akan lebih efektif untuk soal ini karena yang ditanyakan hanya sampai $10$ suku pertama. $$\begin{aligned} & 16-8+4-2+1-\dfrac12+\dfrac14-\dfrac18+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32} \\ & = 11+\dfrac{-16+8-4+2-1}{32} \\ & = \dfrac{352}{32}-\dfrac{11}{32} = \dfrac{341}{32} \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Jika $6, x, y, z, 54$ membentuk barisan geometri, maka nilai dari $\dfrac{xz}{y} = \cdots \cdot$ A. $12$ C. $18$ E. $36$ B. $16$ D. $24$ Pembahasan Suku-suku ganjil pada barisan geometri itu adalah $6, y, 54$. Karena kuadrat dari suku kedua sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga berlaku pada barisan geometri, maka $\begin{aligned} y^2 & = 6 \cdot 54 \\ y^2 & = 6^2 \cdot 3^2 \\ y & = 6 \cdot 3 = 18. \end{aligned}$ Dengan prinsip yang sama, tinjau barisan geometri $6, x, 18$. $\begin{aligned} x^2 & = 6 \cdot 18 \\ x^2 & = 6^2 \cdot 3 \\ x & = 6\sqrt3 \end{aligned}$ Selanjutnya, kita juga akan mendapatkan $z = 18\sqrt3$. Jadi, nilai dari $\begin{aligned} \dfrac{xz}{y} & = \dfrac{6\sqrt3 \cdot \cancel{18}\sqrt3}{\cancel{18}} \\ & = 6\sqrt3^2 = 18. \end{aligned}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 14 Jika $x, y, z$ membentuk barisan geometri dengan suku-suku positif yang berbeda, maka nilai dari $\dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $1$ E. $\dfrac12\sqrt2$ B. $\sqrt2$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Karena $x, y, z$ membentuk barisan geometri, maka berlaku sifat bahwa kuadrat suku kedua sama dengan hasil kali suku pertama dan ketiga, ditulis $y^2 = xz$. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} & = \! ^y \log x + \! ^y \log z \\ & = \! ^y \log \color{red}{xz} \\ \text{Substitusi}~y^2 & = xz \\ \dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} & = \! ^y \log y^2 = 2 \end{aligned}$ Jadi, nilai dar $\boxed{\dfrac{1}{^x \log y}+\dfrac{1}{^z \log y} = 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 15 Berikut ini adalah deret geometri $$\dfrac34+\dfrac32+3+6+\cdots+P = \dfrac{765}{4}$$Nilai $P$ yang sesuai dengan deret di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $86$ C. $92$ E. $102$ B. $90$ D. $96$ Pembahasan Deret geometri tersebut memiliki suku pertama $a = \dfrac34$ dan rasio $r = 2$. Berdasarkan formula deret geometri, kita peroleh bahwa $\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{ar^n-1}{r-1} \\ \dfrac{765}{4} & = \dfrac{\dfrac34\left2^n-1\right}{2-1} \\ \dfrac{765}{\cancel{4}} \cdot \dfrac{\cancel{4}}{3} & = 2^n-1 \\ 255 & = 2^n-1 \\ 256 & = 2^n \\ n & = 8. \end{aligned}$ Selanjutnya, akan dicari $\text{U}_8 = P$ dengan menggunakan formula barisan geometri $\text{U}_n = ar^{n-1}$. $P = \text{U}_8 = \dfrac342^{8-1} = \dfrac{3}{4}2^7 = 96 $ Jadi, nilai dari $\boxed{P = 96}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 16 Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah $26$ dan hasil kalinya $216$. Jumlah bilangan pertama dan ketiga dari barisan geometri itu adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $18$ E. $22$ B. $16$ D. $20$ Pembahasan Misal ketiga bilangan itu membentuk barisan geometri dalam bentuk $\dfrac{a}{r}, a, ar$. Hasil kalinya $\begin{aligned} \dfrac{a}{\cancel{r}} \times a \times a\cancel{r} & = 216 \\ a^3 & = 6^3 \\ a & = 6 \end{aligned}$ Sekarang, barisan geometrinya dapat ditulis dalam bentuk $\dfrac{6}{r}, 6, 6r$. Jumlah $\begin{aligned} \dfrac{6}{r}+6+6r & = 26 \\ \dfrac{6}{r}+6r & = 20 \\ 6\left\dfrac{1}{r}+r\right & = 20 \\ \dfrac{1}{r}+r & = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3} \\ r + \dfrac{1}{r} & = 3 + \dfrac{1}{3} \end{aligned}$ Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r = 3$ atau $r = \dfrac13$. Penentuan barisan geometri Untuk $a = 6$ dan $r = 3$, maka barisan geometrinya $2, 6, 18$. Untuk $a = 6$ dan $r = \dfrac13$, maka barisan geometrinya $18, 6, 2$. Jumlah bilangan pertama dan ketiganya sama meskipun ditukar posisinya, yaitu $\boxed{2 + 18 = 18 + 2 = 20}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Suatu barisan geometri memiliki suku yang semuanya positif. Jika $\dfrac{\text{U}_4 + \text{U}_3}{\text{U}_2+\text{U}_1} = 9$, maka nilai dari $\dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{3}{10}$ C. $\dfrac{9}{10}$ E. $\dfrac{1}{10}$ B. $\dfrac13$ D. $\dfrac14$ Pembahasan Barisan geometri memiliki rumus suku ke-$n$ sebagai berikut. $\boxed{\text{U}_n = ar^{n-1}}$ dengan $a$ sebagai suku pertama dan $r$ sebagai rasio. Dengan demikian, $\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_4 + \text{U}_3}{\text{U}_2+\text{U}_1} & = 9 \\ \dfrac{ar^3 + ar^2}{ar + a} \\ \dfrac{\cancel{a}r^3+r^2}{\cancel{a}r + 1} & = 9 \\ \dfrac{r^3+r^2}{r+1} & = 9 \\ \dfrac{r^2\cancel{r+1}}{\cancel{r+1}} & = 9 \\ r^2 & = 9 \\ r & = \pm 3. \end{aligned}$ Karena suku barisannya positif, maka kita ambil $r = 3$. Selanjutnya, $$\begin{aligned} \dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} & = \dfrac{ar + ar^2}{a + ar + ar^2 + ar^3} \\ & = \dfrac{\cancel{a}r+r^2}{\cancel{a}1+r+r^2+r^3} \\ & = \dfrac{r+r^2}{1+r+r^2+r^3} \\ & = \dfrac{3 + 3^2}{1+3+3^2+3^3} \\ & = \dfrac{12}{40} = \dfrac{3}{10}. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\text{U}_2 + \text{U}_3}{\text{U}_1+\text{U}_2+\text{U}_3 + \text{U}_4} = \dfrac{3}{10}}$ Jawaban A [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Agar bilangan $2^0+2^1+2^2+\cdots+2^n$ sedekat mungkin ke $ maka tentukan nilai $n$. Pembahasan $2^0+2^1+2^2+\cdots+2^n$ merupakan deret geometri dengan suku pertama $a = 2^0 = 1$ dan rasio $r = 2$, serta banyak sukunya $n+1,$ sehingga jumlahnya sama dengan $\begin{aligned} \text{S}_{n+1} & = \dfrac{ar^{n+1}-1}{r-1} \\ & = \dfrac{12^{n+1}-1}{2-1} \\ & = 2^{n+1}-1. \end{aligned}$ Jadi, kita tulis $2^{n+1}-1 \to atau $2^{n+1} \to 2^{11} = sehingga nilai $\boxed{n=10}$ [collapse] Soal Nomor 2 Perhatikan pola gambar berikut. Apabila panjang sisi persegi pada pola pertama $x$ satuan, tentukan luas daerah yang diarsir pada pola ke-$1000$. Pembahasan Pada gambar 1, luas persegi tersebut adalah $L_1 = x^2$ satuan panjang. Panjang sisi persegi pada gambar 2 dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu $\begin{aligned} s & = \sqrt{\left\dfrac12x\right^2 + \left\dfrac12x\right^2} \\ & = \sqrt{\dfrac12x^2} \\ & = x\sqrt{\dfrac12}. \end{aligned}$ Luas persegi pada gambar 2 adalah $L_2 = \leftx\sqrt{\dfrac12}\right^2 = \dfrac12x^2$ yang merupakan setengah dari luas persegi pada gambar 1. Analog dengan ini, kita peroleh bahwa luas tiap persegi membentuk barisan geometri dengan $a = x^2$ dan $r = \dfrac{1}{2}$ sehingga $\begin{aligned} & U_{n} = ar^{n-1} \\ & U_{1000} = x^2\left\dfrac{1}{2}\right^{1000-1} = x^2\left\dfrac{1}{2}\right^{999}. \end{aligned}$ Jadi, luas yang diarsir pada pola ke-$1000$ adalah $x^2\left\dfrac{1}{2}\right^{999}$ satuan luas. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Versi HOTS/Olimpiade Gunakan konsep menentukan rasio deret geometri secara aljabar. Diketahui tiga buah bilangan membentuk suatu deret geometri naik. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 42 dan hasil kalinya adalah 512. Akan ditentukan rasio deret geometri tersebut. Misalkan suku pertama deret geometri tersebut adalah dan rasionya adalah sehingga dapat diperoleh . Diketahui jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 42 sehingga dapat diperoleh persamaan sebagai berikut. Diketahui hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 512 sehingga dapat diperoleh sebagai berikut. Substitusikan ke persamaan sehingga diperoleh Karena barisan tersebut merupakan barisan geometri naik, maka sehingga pilih . Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah .